Gains et pertes : équilibre d'un jeu

Hector décide de créer un jeu dont les règles sont les suivantes.

On lance deux dés cubiques numérotés de \(1\) à \(6\) simultanément :

• si le lanceur obtient un double, il gagne \(10\) euros ;
  
• si le lanceur obtient un unique \(6\), il gagne \(1\) euro ;
  
• dans tous les autres cas, il perd \(1\) euro.
  

On se demande si ce jeu est favorable au joueur ou non.

Partie A : simulation du jeu

Le tableur suivant simule \(100\) parties à ce jeu.

1. Remplir la case \(\text{G1}\) avec la formule permettant d'obtenir le gain total à la fin des \(100\) répétitions.
2. Remplir la case \(\text{G2}\) avec la formule permettant d'obtenir le gain moyen obtenu dans chaque partie.
3. Quelle semble être la réponse à la question « Le jeu est-il favorable au joueur ? » ?

Partie B : modélisation du jeu et calculs de probabilités

Le tableau suivant permet de lister toutes les issues possibles à ce jeu. Chaque couple de nombres indique les issues des deux dés lors d'un tirage.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5&6 \\ \hline 1&(1~;1)&(1~;2)&(1~;3)&(1~;4)&(1~;5)&(1~;6) \\ \hline2&(2~;1)&(2~;2)&(2~;3)&(2~;4)&(2~;5)&(2~;6) \\ \hline3&(3~;1)&(3~;2)&(3~;3)&(3~;4)&(3~;5)&(3~;6) \\ \hline4&(4~;1)&(4~;2)&(4~;3)&(4~;4)&(4~;5)&(4~;6) \\ \hline5&(5~;1)&(5~;2)&(5~;3)&(5~;4)&(5~;5)&(5~;6) \\ \hline6&(6~;1)&(6~;2)&(6~;3)&(6~;4)&(6~;5)&(6~;6) \\ \hline\end{array}\end{align*}\)

1. Quelle est la probabilité de gagner \(10\) € ?
2. Quelle est la probabilité de gagner \(1\) € ?
3. Quelle est la probabilité de perdre \(1\) € ?

Partie C : variable aléatoire et espérance

On appelle \(G\) le gain réalisé (il peut être négatif).

1. Résumer les résultats dans le tableau suivant.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Valeurs prises par} ~G &-1&+1&+10\\ \hline \text{Probabilité d'obtenir} \\ \text{ chacune des valeurs possibles pour} ~G\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

\(G\) est la variable aléatoire qui, à toute issue du lancer de dés, associe le gain du joueur. Les valeurs que \(G\) peut prendre sont \(\{-1\;;\;1\;;\;10\}\).
2. L'écriture \(\{G =1\}\) représente l'événement « le gain obtenu lors d'une partie est égal à \(1\) ».
    a. Donner sa probabilité \(P(G=1)\).
    b. Donner la probabilité d'obtenir un gain positif à une partie de ce jeu.
3. a. Calculer le nombre \(E(G)=-1\times P(G=-1)+1\times P(G=1)+10\times P(G=10)\).
    b. Comparer le nombre obtenu à la moyenne calculée dans le tableur.
    c. Que peut-on constater ? Répondre à la question posée au début de l'activité : « Le jeu est-il favorable au joueur ? »
Le nombre \(E(G)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(G\). Il représente le gain moyen que l'on peut espérer obtenir à chaque partie, si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu.
4. Un jeu est dit équilibré lorsque l'espérance de la variable aléatoire \(G\) est nulle. L'introduction d'une mise obligatoire pour participer à un jeu peut permettre de rendre un jeu équilibré (ou alors le rendre favorable à qui propose le jeu). Quelle mise devrait demander Hector pour que son jeu soit équilibré ?